mécanique des fluides cours

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mécanique des fluides

Cours

   Introduction

• l’explication des phénomènes naturels : les vagues, le vent, la force de résistance sur un corps en mouvement dans l’air ou l’eau, l’aspiration d’une cheminée, le mouvement des bulles, la chut d’objets léger (les feuilles des arbres), les vibrations provoquées par un écoulement. . .
• l’exploitation des fluides à des fins pratiques : fabrication d’embarcations, pompage de puits, adduction d’eau, application “énergétiques” (moulins à eau ou à vent), propulsion et sustentation des aéronefs, bateaux, sous-marins, forces de frottement sur les véhicules ou sur l’homme dans le domaine du sport (cyclisme, natation). . .

La mécanique des fluides a cet avantage sur d’autres disciplines de la physique qu’elle fait partie de notre quotidien. Aussi, il est toujours bon d’appréhender un écoulement de fluide tout d’abord avec sa seule intuition. Les équations de la mécanique des fluides ont une structure mathématique complexe, et doivent être vues comme un ultime recours pour décrire ou quantifier un phénomène, là ou l’intuition s’arrête. Les équations ne sont pas la mécanique des fluides, elles la décrivent. Cette accessibilité ne doit pas masquer cependant le fait que certains aspects, notamment la turbulence, restent encore mal compris, même si l’astuce des chercheurs et ingénieurs l’ont rendue accessible à la simulation quotidienne.

A titre de préliminaire à ce cours, on pourra par exemple se poser les questions suivantes :

• pourquoi les portes claquent dans un courant d’air ?
• pourquoi les bulles remontent dans l’eau ?
• pourquoi un avion ne tombe-t’il pas sous son propre poids ?
• comment faire monter un fluide d’un point bas à un point haut ?
• la quantité d’eau sortant d’un tuyau par unité de temps est-elle égale à celle qui y rentre ?
• l’eau sortant d’un robinet a-t-elle la même allure selon la valeur du débit ?
• que faut-il faire pour siphonner un récipient ?
• comment fonctionne une centrale hydroélectrique ?
• comment les sportifs donnent-ils de l’effet à des balles, des ballons ? 

Toutes ces questions sont généralement posées plutôt par les enfants, parce qu’ils cherchent à comprendre le monde qui les entoure. Avec l’âge, la tendance intellectuelle naturelle est plutôt à l’acceptation du phénomène. Il est donc important de questionner à nouveau sa perception des phénomènes physiques avant de vouloir les modéliser. Complétez donc cette liste de questions par les vôtres en continuant à étudier ce cours. Le cadre forcément restreint de ce dernier ne permettra pas malheureusement de répondre à toutes, mais cette démarche intellectuelle est importante.

Pensez également que les scientifiques qui ont établi les équations de la mécanique des fluides sont allés de l’intuition vers le modèle mathématique, et non pas l’inverse.

Quelques conseils de lecture de ce polycopié :

• le chapitre 1 décrit ce qu’est un fluide et comment on peut le définir par un milieu continu. Sa lecture, bien que conseillée, n’est pas indispensable pour comprendre les chapitres suivants.
• le chapitre 2 décrit ce qu’est une équation de bilan et définit mathématiquement le terme de flux convectif. Le lecteur familier avec les équations de conservation pourra aisément survoler le début de ce chapitre à l’usage du débutant, et ne retenir que son résultat essentiel (équation 2.6). On y définit également ce volume particulier qu’est le tube de courant. On y expose, ensuite, les équations de conservation pour un fluide sans détailler les forces exercées, et les trois équations de bilan fondamentales pour un fluide sont retrouvées : la masse, la quantité de mouvement et l’énergie. Ce n’est finalement qu’un rappel des grands principes de la physique.
• Le chapitre 3 peut être lu indifféremment avant ou après les deux précédents. Il décrit les forces de volume et de contact exercées sur un fluide. On y déduit les lois de l’hydrostatique. La notion de force de frottement visqueuse y est présentée, à la lumière de l’expérience historique de Couette, et le nombre de Reynolds est introduit. Une discussion sur le modèle du fluide parfait y est finalement proposée.
• Le chapitre 4 est le coeur de ce document : sur la base des chapitres 2 et 3, les équations du mouvement d’un fluide sont présentées, sous forme globale, dans le cas particulier d’une machine fluide, et enfin sous forme locale. Aucune hypothèse restrictive n’y est effectuée de telle sorte que les équations présentées sont les plus générales possibles, et donc applicables à tout type de fluide ou d’écoulement.

• Le chapitre 5 présente le modèle du fluide parfait uniquement dans le cas incompressible. La fameuse formule de Bernoulli y est présentée, ainsi que la notion de charge, qui décrit bien la conservation de l’énergie mécanique. Ce chapitre très court est sans doute le plus utile dans la perspective des applications courantes.
• Le chapitre 6 présente les limites du modèle du fluide parfait et donc de la formule de Bernoulli. On y montre pourquoi les forces visqueuses introduisent toujours une perte d’énergie dans les écoulements en tuyauterie, couramment appelée perte de charge, dont on donnera les expressions pour des configurations d’écoulement classiques. On y présentera également les échanges d’énergie bidirectionnels possibles entre le fluide et une machine tournante, occasionnant soit un gain de charge pour le fluide (cas de la pompe), soit une perte de charge (cas de la turbine).

   Au sommaire:

1 Description d’un fluide 

• 1.1 Qu’est-ce qu’un fluide ?
• 1.2 Propriétés
• 1.3 Description comme un milieu continu
• 1.3.1 Séparation des échelles
• 1.3.2 Définition de la masse volumique
• 1.3.3 Vitesse et quantité de mouvement
• 1.3.4 Grandeurs énergétiques
• 1.4 Grandeurs locales et globales
• 1.5 Volume fixe ou mobile ?

2 Introduction aux bilans

• 2.1 Introduction intuitive
• 2.2 Transport diffusif et convectif
• 2.2.1 Qu’est ce qu’un flux ?
• 2.2.2 Transport diffusif (parenthèse)
• 2.2.3 Flux convectif
• 2.3 Bilan d’une grandeur volumique dans un milieu continu
• 2.3.1 Ecriture générale
• 2.3.2 Une géométrie particulière : le tube de courant
• 2.3.3 Une approximation utile : l’écoulement piston
• 2.4 Equations de conservation pour un fluide
• 2.4.1 Conservation de la masse
• 2.4.2 Conservation de la quantité de mouvement
• 2.4.3 Conservation de l’énergie 
• 2.4.4 Synthèse

3 Forces exercées sur un fluide

• 3.1 Introduction
• 3.2 Force volumiques
• 3.3 Forces de contact : pression
• 3.3.1 Origine microscopique
• 3.3.2 Equilibre d’une colonne d’eau
• 3.3.3 Généralisation
• 3.3.4 Loi de l’hydrostatique
• 3.3.5 Applications
• 3.3.6 Extension en référentiel non galiléen
• 3.3.7 Poussée d’Archimède
• 3.3.8 Moment des forces de pression
• 3.4 Forces de contact : frottement visqueux
• 3.4.1 Mise en évidence : expérience de Couette
• 3.4.2 La viscosité
• 3.4.3 Origine microscopique
• 3.4.4 Le nombre de Reynolds
• 3.4.5 Le modèle de fluide parfait
• 3.5 Ecriture tensorielle des forces de contact

4 Equations du mouvement d’un fluide

• 4.1 Sous forme de bilans volumiques
• 4.1.1 Conservation de la masse
• 4.1.2 Conservation de la quantité de mouvement
• 4.1.3 Conservation de l’énergie
• 4.1.4 Complément : théorème de l’énergie cinétique
• 4.2 Conditions aux limites
• 4.3 Application aux écoulements en tuyauterie
• 4.3.1 Préliminaire
• 4.3.2 Conservation de la masse
• 4.3.3 Conservation de la quantité de mouvement
• 4.3.4 Conservation de l’énergie
• 4.3.5 Théorème de l’énergie cinétique
• 4.4 Equations locales
• 4.4.1 Contexte
• 4.4.2 Obtention
• 4.4.3 Un jeu d’équations complet ?
• 4.4.4 Cas du fluide incompressible

5 Mouvement du fluide parfait incompressible. Formule de Bernoulli

• 5.1 Rappel des hypothèses et équations
• 5.2 Formule de Bernoulli
• 5.2.1 Hypothèses-Enoncé
• 5.2.2 Démonstration
• 5.2.3 Commentaires
• 5.3 Applications
• 5.3.1 Problèmes de vidange
• 5.3.2 Pression dynamique. Forces sur un obstacle
• 5.3.3 Notion de charge

6 Pertes et gains de charge. Formule de Bernoulli généralisée

• 6.1 Formule de Bernoulli généralisée
• 6.2 Frottement visqueux : Φv 6= 0
• 6.2.1 Pertes de charge régulières
• 6.2.2 Pertes de charge singulières
• 6.2.3 Exemple
• 6.3 Cas des machines tournantes : W ̇u 6= 0
• 6.3.1 Turbines, moulins, éoliennes
• 6.3.2 Pompes
• 6.4 Applications aux réseaux de fluide
• 6.4.1 Circuit fermé
• 6.4.2 Caractéristique d’une pompe
• 6.4.3 Point de fonctionnement

7 Equations de Navier-Stokes

• 7.1 Le modèle de fluide newtonien
• 7.1.1 Approche par l’expérience de Couette
• 7.1.2 Equations du modèle newtonien
• 7.1.3 Le tenseur gradient de vitesses
• 7.2 Equations de Navier-Stokes
• 7.2.1 Adimensionnalisation
• 7.2.2 Classification des écoulements
• 7.2.3 Diffusion de quantité de mouvement et viscosité cinématique
• 7.3 Deux écoulements visqueux unidirectionnels
• 7.3.1 Ecoulement de Couette
• 7.3.2 Ecoulement de Poiseuille
• 7.4 Généralisation : écoulements unidirectionnels
• 7.4.1 Mise en équation
• 7.4.2 Cas stationnaire. Perte de charge
• 7.4.3 Cas instationnaire. Diffusion de quantité de mouvement

8 Ecoulements rampants

• 8.1 Equations
• 8.2 Propriétés des écoulements rampants
• 8.2.1 Réversibilité temporelle
• 8.2.2 Réversibilité spatiale
• 8.3 Equation de la vorticité
• 8.4 Applications
• 8.4.1 Force sur un obstacle
• 8.4.2 Rhéologie des suspensions
• 8.4.3 Micro-fluidique

9 Couche limite

• 9.1 Présentation générale
• 9.2 Etude “sans équations”
• 9.2.1 Observations expérimentales
• 9.2.2 Analyse dimensionnelle
• 9.2.3 Physique des couches limite
• 9.2.4 Frottement à la paroi. Coefficients de trainée
• 9.3 Résultats pratiques pour la plaque plane
• 9.4 Théorie de Prandtl
• 9.4.1 Principe général
• 9.4.2 Cas de la plaque plane : solution auto-similaire et équation de Blasius
• 9.5 Décollement des couches limites
• 9.5.1 Cas d’un profil auto-similaire. Equation de Falkner-Skan
• 9.5.2 Cas d’un profil non auto-similaire
• 9.6 Forces de trainée
• 9.6.1 Trainée de pression et traînée visqueuse
• 9.6.2 Trainée sur différents profils

A Puissance du poids et premier principe

B Quelques formules d’analyse vectorielle