Dimensionnement des structures

calcul structure

Introduction au dimensionnement des structures

Dimensionnement des structures

Une structure est un assemblage intelligent d’éléments et de matériaux afin d’assurer une fonction.

La figure I.1 montre par exemple la structure en balsa d’un avion d’aéromodélisme permettant d’assurer la forme de la voilure portante, ainsi que la structure d’un pylône électrique qui permet de maintenir les lignes électriques à une certaine hauteur.

Le but du dimensionnement est de déterminer les formes, dimensions, matériaux afin de satisfaire la fonction demandée dans toutes les conditions de vie de la structure. Par exemple la structure en balsa de l’avion d’aéromodélisme doit résister aux efforts aérodynamiques

Figure I.1 – Exemples de structures : structure en balsa d’un avion d’aéromodélisme, pylône électrique

Figure I.2 – Problème réel : dimensionnement des pieds d’une table.

en vol, la structure du pylône électrique doit résister à des vents forts et des surcharges de neige et de verglas.

Deux principales méthodes existent pour dimensionner une structure :

Méthode non prédictive « essai-erreur » : on construit un prototype réel (ou une maquette à échelle réduite), puis on le teste en condition réelle ; cette méthode a l’avantage de ne faire appel à aucune connaissance a priori de la mécanique mais est coûteuse.
Méthode prédictive : on fait un modèle mécanique « virtuel » basé sur des équations mathématiques, puis on le teste ; cette méthode est moins coûteuse, mais a l’inconvénient de faire appel à des connaissances de mécanique et de mathématiques.

C’est cette deuxième méthode qui est développée dans ce cours. On se limite au dimensionnement des structures en statique et en élasticité linéaire.

Problème réel

Le problème réel fait intervenir (Fig. I.2) :

Une structure, comprenant des incertitudes sur sa géométrie et son matériau ;
Des liaisons avec l’extérieur, souvent assez mal maîtrisées ;
Des efforts appliqués, parfois assez complexes.

Lors de la phase de conception, la solution réelle de ce problème n’est pas accessible (déplacements, contraintes, …). Une fois la structure fabriquée et placée dans son environnement, la solution est partiellement accessible par des mesures (jauges de déformation, photoélasticité,… ).

I.1.1 Modéle mécanique

Afin de trouver une solution approchée du problème réel, on utilise un modèle mathématique du problème réel. Les modèles généralement utilisés en mécanique sont :

le modèle de poutre,
le modèle de plaque,

Figure I.3 – Trois modèles du pied de table.

le modèle de coque,
le modèle plan en contraintes planes,
le modèle plan en déformations planes,
le modèle axisymétrique,
le modèle tri-dimensionnel.

Pour l’exemple précédent d’un pied de table, on peut par exemple choisir :

Le modèle de poutre (Fig. I.3 a) :
hypothèse cinématique de poutre
1 variable le long de l’axe de la poutre décrit le problème
encastrement de type poutre
torseurs d’efforts équivalents
Le modèle de coque (Fig. I.3 b) :
hypothèse cinématique de coque
2 variables sur la surface moyenne de la coque décrivent le problème
encastrement de type coque
torseurs d’efforts équivalents distribués
Le modèle tri-dimensionnel (Fig. I.3 c) :
encastrement tri-dimensionnel
3 variables dans les 3 directions de l’espace décrivent le problème
forces surfaciques distribuées

Pour les trois modèles proposés, l’encastrement est modélisé de façon parfaite alors que la liaison réelle est réalisée par une pièce intermédiaire souple. Ces modèles ne permettent pas de dimensionner cette pièce intermédiaire. C’est au concepteur de choisir le modèle le plus adapté par rapport aux critères de dimensionnement qu’il pense être les plus judicieux.

Au sommaire:

I – Poutre et torseur de cohésion

I.1 Introduction au dimensionnement des structures
I.1.1 Modéle mécanique
I.2 Modèle de poutre
I.3 Poutre dans son environnement
I.4 Torseur de cohésion
I.4.1 Définition
I.4.2 Détermination
I.4.3 Classification des sollicitations

II – Sollicitations simples sur les poutres

II.1 Traction
II.1.1 Torseur de cohésion
II.1.2 Contrainte normale
II.1.3 Allongement, déformation et déplacement
II.1.4 Relation contrainte-déformation
II.1.5 Relation entre effort normal et chargement
II.2 Torsion
II.2.1 Torseur de cohésion
II.2.2 Moment quadratique polaire de section
II.2.3 Contrainte tangentielle
II.2.4 Déformation et rotation des sections
II.2.5 Relation contrainte-déformation
II.2.6 Relation entre moment de torsion et chargement
II.3 Flexion
II.3.1 Torseur de cohésion
II.3.2 Moment quadratique de section
II.3.3 Contrainte normale
II.3.4 Déformation
II.3.5 Déplacement
II.3.6 Relation contrainte-déformation
II.3.7 Relations moment de flexion – effort tranchant – chargement

III – Calcul de treillis

III.1 Hypothèses et critère de dimensionnement
III.1.1 Hypothèses sur les liaisons
III.1.2 Règles de construction d’un treillis
III.1.3 Critère de dimensionnement
III.2 Méthode des nœuds
III.3 Flambage des poutres droites
III.3.1 Introduction
III.3.2 Charge critique de flambage d’une poutre droite
III.3.3 Élancement et rayon de giration
III.3.4 Critère de dimensionnement
III.3.5 Autres conditions aux limites

IV – Contraintes et déformations

IV.1 Introduction
IV.2 Caractérisation des contraintes et des déformations tridimensionnelles
IV.2.1 Opérateur des contraintes et des déformations
IV.2.2 Théorème de superposition
IV.3 Problème plan
IV.3.1 Hypothèses
IV.3.2 Etat de contraintes planes
IV.3.3 Expressions des contraintes subies par un carré non aligné avec x et y
IV.3.4 Expressions des déformations d’un carré non aligné avec x et y
IV.3.5 Relation entre les contraintes et les déformations d’un carré non aligné avec x et y
IV.3.6 Directions principales
IV.3.7 Cercle de Mohr des contraintes

V – Critères de dimensionnement

V.1 Objectifs
V.2 Matériaux ductiles : critère de Tresca
V.3 Matériaux ductiles : critère de Von Mises
V.4 Comparaison des critères de Tresca et de Von Mises
V.5 Fatigue des matériaux

VI – Enveloppes minces

VI.1 Action d’un fluide au repos sur un solide
VI.2 Application à un réservoir cylindrique
VII Initiation au calcul éléments finis
VII.1 Étude de l’élément de barre
VII.1.1 Équilibre de l’élément barre
VII.1.2 Exemple d’application
VII.1.3 Remarques sur la méthode des éléments finis
VII.2 Étude de deux barres
VII.2.1 Assemblage des matrices de rigidité élémentaires
VII.2.2 Mise en œuvre pratique
VII.3 Élément barre pour le calcul des treillis
VII.4 Élément de poutre pour le calcul des portiques

VIII – Moyens expérimentaux

VIII.1 Jauges de déformation
VIII.1.1 Principe
VIII.1.2 Pont de Wheatstone
VIII.1.3 Utilisation du boîtier
VIII.1.4 Différents montages
VIII.1.5 Capteurs à jauges
VIII.1.6 Exploitation d’une rosette de 3 jauges à 45o
VIII.2 Photoélasticité
VIII.2.1 Principes
VIII.2.2 Mise en équation
VIII.2.3 Réseaux de courbes caractéristiques

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